题目

高数.
若函数f(x)在点X=0处连续,且其极限f(x)/x存在,试问函数f(x)在点X=0处是否可导

提问时间：2021-02-12

答案

这个题有点学问的.
应该是可导的.
证明：
（1）首先f(x)在点X=0处连续,连续是可导的必要条件,因此我们可以继续往下讨论.
（2）题目告诉我们lim{x-->0} f(x)/x存在.但是没有告诉我们f(0)是多少.如果诉我们f(0)=0的话,那就是lim{x-->0} [f(x)-f(0)]/[x-0]存在,这就是x=0点导数的定义,我们便能直接判断出f(x)在x=0可导.
（3）但是本题并未说“f(x)=0”,虽然没直接说f(0)=0,但我们可以从字里行间推出f(0)=0的!
理由就是“lim{x-->0} f(x)/x存在”
当x趋近于0的时候,分母x是一个无穷小量,整体分式的极限存在,说明分子f(x)也应该是无穷小量,（否则分式将趋于无穷大,即分式极限不存在）
这样就说明了f(0)必然为0!
接下来就顺理成章的：lim{x-->0} [f(x)-f(0)]/[x-0]存在,所以0点可导