题目

函数f（x）=x³-（a+1）x+a，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程．
（Ⅱ）若F（x）=f（x）-g（x）单调递增，求a的范围．

提问时间：2021-02-11

答案

（I）f'（x）=3x²-（a+1），g'（x）=lnx+1
∴f'（1）=2-a     g'（1）=1
∵两曲线在x=1处的切线互相垂直
∴（2-a）×1=-1
∴a=3
∴f'（1）=-1     f（1）=0
∴y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y-1=0，
同理，y=g（x）在x=1处的切线方程为x-y-1=0（6分）
（II）由F（x）=x³-（a+1）x+a-xlnx
得F'（x）=3x²-（a+1）-lnx-1=3x²-lnx-a-2（8分）
∵F（x）=f（x）-g（x）单调递增
∴F'（x）≥0恒成立
即a≤3x²-lnx-2（10分）
令h（x）=3x²-lnx-2
h′(x)＝6x−

1

x

 (x＞0)
令h'（x）＞0得x＞

6

6

，
令h'（x）＜0得0＜x＜

6

6

∴h(x)min＝h(

6

6

)＝−

3

2

+

1

2

ln6
∴a的范围为(−∞  ， （13分）

（I）求出f（x）与g（x）在x=1处的导数值即两曲线在切点处的切线的斜率，利用两线垂直斜率之积为-1将两个值乘起来等于-1，求出a，将a的值代入f（x），求出f（1），g（1）；利用点斜式写出切线的方程．
（II）求出F′（x），令其大于等于0恒成立；分离出a，构造函数h（x），通过导数求出h（x）的最小值，令a小于等于最小值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查函数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为-1、考查直线方程的点斜式、考查函数单增得到导函数大于等于0恒成立、考查解决不等式恒成立常分离参数转化为求函数的最值．