题目

如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm．P、Q两点同时从A点出发，分别以1cm/秒和2cm/秒的速度沿A⇒B⇒C⇒D⇒A运动，当Q点回到A点时，P、Q两点即停止运动，设点P、Q运动时间为t秒．
（1）当P、Q分别在AB边和BC边上运动时，设以P、B、Q为顶点的三角形面积为s，请写出s关于t的函数解析式及自变量t的取值范围；
（2）在整个运动过程中，t取何值时，PQ与BD垂直？

提问时间：2021-02-10

答案

（1）当P、Q分别在AB边和BC边上运动时，运动时间t满足5＜t＜10，BQ=2t-10，BP=10-t，
因而以P、B、Q为顶点的三角形面积为s=

1

2

×（2t-10）（10-t），
即s=-t²+15t-50（5＜t＜10）；
（2）以B为原点建立平面直角坐标系，使BC落在x轴正半轴，BA落在y轴正半轴上．
∵D（20，10）在直线BD上，∴直线BD的解析式为y=

1

2

x．
∵两直线互相垂直时，一次项系数一定互为负倒数，
∴直线PQ的一次项系数是-2，
设直线PQ的解析式为y=-2x+b．
分两种情况：①当点P在AB上，点Q在BC上时，
BP=10-t，BQ=2t-10，
∴P（0，10-t），Q（2t-10，0）．
把点P、Q的坐标分别代入y=-2x+b，得10-t=b，0=-2（2t-10）+b，
解得t=6，b=4；
②点P在BC上，点Q在AD上时，
BP=t-10，AQ=60-2t，
∴P（t-10，0），Q（60-2t，10）．
把点P、Q的坐标分别代入y=-2x+b，得0=-2（t-10）+b，10=-2（60-2t）+b，
解得t=25，b=30．
综上所述，t=6或t=25．