题目

已知a、b是关于x的方程x²-（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a²+b²的最小值是______．

提问时间：2021-02-10

答案

由题意知，a+b=2k+1，ab=k（k+1）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab
=（2k+1）²-2k（k+1）
=4k²+4k+1-2k²-2k=2k²+2k+1=2（k+

1

2

）²+

1

2

，
∴a²+b²的最小值是

1

2

．

根据a²+b²=（a+b）²-2ab=（2k+1）²-2k（k+1），根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入即可得到关于k的代数式，转化为求代数式的最小值问题．

本题考点：根与系数的关系．

考点点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．