题目

已知椭圆X^2/a^2 Y^2/b^2=1（a＞b＞0）的长轴右端点A,0为坐标原点,如果椭圆上有一点Q,AQ垂直于QO,求椭圆离心率的范围．

提问时间：2021-02-10

答案

由题意得知,A点坐标为:(a,0),OQ=a,c^2=a^2-b^2
离心率e=c/a,e^2=1-b^2/a^2
如果Q点存在,则横坐标大于0,且一定存在关于x轴对称的两个点.
存在Q使得AQ垂直于QO,则以OA为直径的圆与椭圆有3个交点,一个点是A.
以OA为直径的圆方程为：
(x-a/2)^2+y^2=a^2/4
化简得：y^2=ax-x^2
代入椭圆方程得：
x^2/a^2+(ax-x^2)/b^2=1
化简得：(b^2-a^2)x^2+a^3x-a^2b^2=0
x1=a是方程的1个根,要求另外一根x2√2/2