题目

已知A(-1,0)B(1,0)动点M满足|AM|=4,BD=DM,P在AM上且满足(BD-BP)BM=0,求动点P的轨迹方程
AM BD DM BP BM都是向量,也就是说PD垂直BM

提问时间：2021-02-10

答案

首先设动点P为(x,y),因为(BD-BP)=PD,即PD*BM=o
所以PD与BM垂直,所以三角形PBM是直角三交形,
则PM可看成是以PM为直径过B点的圆,又因为BD=DM,
所以D是此圆圆心,所以PD=DM,
所以BD=PD,
又因为AM=AP+PD+DM=4,且DM=PB,所以有
AM=AP+PD+PB=4,即AP+PB=4
又因为A,D为定点,P为动点,则且AP+PB=4,
即动点P到定点A,P的距离之和为定长4,
则P轨迹是以A,B为焦点的椭圆,
A(-1,0) B(1,0)则半焦距为1,c=1
定长为4,则2a=4,a=2 ,a*a=4
b=根号下a*a-c*c=2*2-1*1=根号3
b*b=3
椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
则P的方程为x^2/4+y^2/3=1
(x^2是x的平方,/是除号.*是乘号)