题目

设函数f（x）=1-e^-x．
（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥

x

x+1

；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤

x

ax+1

，求a的取值范围．

提问时间：2021-02-09

答案

（1）当x＞-1时，f（x）≥

x

x+1

当且仅当e^x≥1+x
令g（x）=e^x-x-1，则g'（x）=e^x-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即e^x≥1+x
所以当x＞-1时，f（x）≥

x

x+1

（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞-

1

a

，则

x

ax+1

＜0，f（x）≤

x

ax+1

不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤

x

ax+1

当且仅当h（x）≤0
因为f（x）=1-e^-x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤

1

2

时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤

x

ax+1

（ii）当a＞

1

2

时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜

2a−1

a

时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞

x

ax+1

综上，a的取值范围是[0，

1

2

]

（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）≥

x

x+1

整理成e^x≥1+x，组成新函数g（x）=e^x-x-1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．
（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直接得到f（x）≤

x

ax+1

不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求a的范围．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在．