题目

抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及；
(3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标；若不存在,请说明理由.

提问时间：2021-02-09

答案

（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c,把C（1,4）A（3,0）代入得：
-b / 2a=1 a=-1
a+b+c=4 解得： b=2
9a+3b+c=0 c=3
所以y=-x²+2x+3
当x=0时,y=3,所以B（0,3）
设AB的解析式为y=kx+b,把A(3,0)B(0,3)代入,解得k=-1,b=3,所以y=-x+3
(2) 当x=1时,y=-1+3=2,所以D(1,2),所以CD=4-2=2
所以S△CAB=2*3/2=3
(3)可过C点作AB的平行线,与抛物线的另一个交点就是P点.
因为CP‖AB,所以设CP的解析式为y=-x+b,把C（1,4）代入,解得：b=5
所以y=-x+5,
由题意得:-x²+2x+3=-x+5
x²-3x+2=0
解得：x1=1,x2=2
当x=2时,y=-2+5=3,所以P（2,3）