题目

求由x^2+y^2=x所表示的图形绕直线x=2旋转一周而成的旋转体的体积

提问时间：2021-02-09

答案

求由x²+y²≦2x与y≧x所表示的图形绕直线x=2旋转一周而成的旋转体的体积

x²-2x+y²=(x-1)²+y²-1≦0,与y≧x所表示的图形是园(x-1)²+y²=1被直线y=x截下的一个弓形,此

弓形绕直线x=2旋转一周而成的旋转体是一个中空的鼓形,其体积可如下计算：

弓形园弧段的旋转半径：R=2-[1-√(1-y²)]=1+√(1-y²)；弓形弦的旋转半径r=2-x=2-y；

取厚度为dy的簿片,其微体积dv=π(R²-r²)dy=π{[1+√(1-y²)]²-(2-y)²}dy=π[4y-2y²-2+2√(1-y²)]dy

故旋转体的体积V=[0,1]π∫[4y-2y²-2+2√(1-y²)]dy

=π{2y²-(2/3)y³-2y+2[(y/2)√(1-y²)+(1/2)arcsiny]}∣[0,1]

=π[2-(2/3)-2+2(π/4)]=(π/2-2/3)π