题目

如图 已知A -3,0 B 0,-4 P为双曲线Y=12/X X>0 上的任意一点 过点P做PC垂直X轴
已知A -3,0 B 0,-4 P为双曲线Y=12/X X>0 上的任意一点 过点P做PC垂直X轴与点C PD垂直Y轴与点D 1.求证AD平行BC?2.求四边形ABCD为菱形时.求点P的坐标 3当四边形ABCD的面积S的最小值
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提问时间：2021-02-08

答案

1.证明：设P的坐标为(a,12/a)（a>0）
那么C,D的坐标分别为：C(a,0),D(0,12/a)
则直线AD的斜率为：k1=(0-12/a)/(-3-0)=4/a
直线BC的斜率为：k2=(-4-0)/(0-a)=4/a
k1=k2
所以：AD//BC
2.∵四边形ABCD为菱形
∴AD//BC(1中已证) AB//CD AB=BC
直线AB的斜率为：k3=(0+4)/(-3-0)=-4/3
直线CD的斜率为：k2=(12/a-0)/(0-a)=-12/a^2
AB//CD 即：k3=k4
-4/3=-12/a^2
解得：a^2=9
∵a>0
∴a=3
当a=3时,点C,D的坐标分别为：C(3,0),D(0,4)
AB=BC=5
符合题意：四边形ABCD为菱形
∴点P的坐标是：(3,4)
3.S=S△ACP+S△ACB
=AC·|12/a|·1/2+AC·|-4|·1/2
=(a+3)(12/a+4)/2
=2a+12+18/a
≥18+2√(2a·18/a)
=18+2×6
=30
当且仅当2a=18/a,即a=3时等号成立
所以,当a=3时,四边形ABCD的面积S有最小值30