题目

定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：对任意x,y（-1,1）,都有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].求证：函数f(x)是奇函数.

提问时间：2021-02-08

答案

由题有：对任意x,y（-1,1）,都有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].
取x=y=0;
f(0)+f(0)=f[(0)/(1+0)]=f(0)
因此f(0)=0,
且定义域（-1,1）关于原点对称.
又:
令y=-x代入f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].
f(x)+f(-x)
=f[(x-x)/(1-x^2)]--------1式
因为x属于（-1,1）,所以x^2不为1,
1式为;f(x)+f(-x)=f(0)=0;
因此f(-x)=-f(x)
综上,函数f(x)是奇函数.
证毕!