题目

如图,四边形ABCD中,∠BAD＝120°∠B＝∠D＝90°,在BC、CD上分别找一点M、N使得△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为A.100° B.110° C.120° D.130° 此题为2012,兰州的中考题,还有,要的是解题过程,【— —老师说的时候走神了……（题外话 总之!

提问时间：2021-02-05

答案

如图,以BC为对称轴作A的对称点E,以CD为对称轴作A的对称点F

连接EF,与BC,CD分别交于点P,Q

则当M,N分别与交点P,Q重合时,△AMN周长最小

由对称可知,有 AM=EM, AN=FN

∴△AMN周长=AM+MN+AN=EM+MN+FN

E,F两点间直线最短,故只有当M,N分别与P,Q重合时

△AMN周长取得最小值,此最小值即为EF

由对称性可知,∠AMN=∠E+∠EAM=2∠E,

∠ANM=∠F+∠FAN=2∠F

又∠BAD=120°,∴∠E+∠F=180°-120°=60° （△AEF内角和180°）

∴∠AMN+∠ANM=2（∠E+∠F）=120°

选 C