题目
g[x]=x^2+alnx+2/x在【1,4】上是减函数.求a的范围
提问时间：2021-02-04
答案
g '(x)=2x+a/x-2/x^2=(2x^3+ax-2)/x^2
g[x]=x^2+alnx+2/x在【1,4】上是减函数
则：g `(x)≤0在【1,4】上恒成立；
即：2x^3+ax-2≤0在【1,4】上恒成立；
即：-ax≤2(x^3-1)在【1,4】上恒成立;
-a≤2(x^2-1/x)在【1,4】上恒成立
设h(x)=x^2-1/x,则h `(x)=2x+1/x^2>0;
所以函数h(x)在【1,4】上是增函数；x=1时,h(x)取到最小值h(1)=0
要使-a≤2(x^2-1/x)在【1,4】上恒成立
只需-a≤0,即a≥即可；
所以a的范围是：[0,∞)
g[x]=x^2+alnx+2/x在【1,4】上是减函数
则：g `(x)≤0在【1,4】上恒成立；
即：2x^3+ax-2≤0在【1,4】上恒成立；
即：-ax≤2(x^3-1)在【1,4】上恒成立;
-a≤2(x^2-1/x)在【1,4】上恒成立
设h(x)=x^2-1/x,则h `(x)=2x+1/x^2>0;
所以函数h(x)在【1,4】上是增函数；x=1时,h(x)取到最小值h(1)=0
要使-a≤2(x^2-1/x)在【1,4】上恒成立
只需-a≤0,即a≥即可；
所以a的范围是：[0,∞)
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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