题目

用区间套定理证明连虚函数有界性定理:若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界

提问时间：2021-02-04

答案

假如f(x)在[a,b]上无界,设[a,b]＝[a1,b1],对分之,两个闭区间中至少有一个使f(x)无界,令其为
[a2,b2].再对分之,得到[a3,b3].等等.得到一个闭区间套
[a1,b1]＞（借用,意为包含）[a2,b2]＞…….|[an,bn]|＝（b-a）/2^n→0.
f(x)在每个[an,bn]上无界.
从区间套定理,存在ξ∈每个[an,bn].当然ξ∈[a,b].,设f(ξ)＝c.∵f(x)在[a,b]上连续,存在δ＞0
使得x∈（ξ-δ,ξ+δ）时,f(x)∈（c-1,c+1）,
注意|（ξ-δ,ξ+δ）|＝2δ.·取大n0.使（b-a）/2^n0＜δ.则[an0,bn0]＜（包含于）（ξ-δ,ξ+δ）
∴x∈[an0,bn0]时,f(x)∈（c-1,c+1）,这与“f(x)在每个[an,bn]上无界”矛盾.
∴f(x)在[a,b]上有界.[证明中设ξ不是a,b.请楼主稍作补充,完成这次证明.]