题目

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0).

（1）若f（-1）=0，且函数f（x）≥0的对任意x属于一切实数成立，求F（x）的表达式；
（2）在 （1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

提问时间：2021-02-02

答案

（1）由题意，函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），∵f（-1）=0，∴a-b+1=0，即b=a+1，∵函数f（x）≥0对任意x属于一切实数恒成立，即ax2+bx+1≥0对x∈R恒成立，∴a＞0△=b2-4a≤0，∵b=a+1，∴a＞0(a+1)2-4a=(a-1)2...

（1）根据f（-1）=0，可得b与a关系，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，根据二次函数的性质，即可得到关于a和b的不等关系，从而求得a和b的值，即可得F（x）的表达式；
（2）由（1）中可得f（x）的解析式，从而求得g（x）的解析式，根据二次函数的性质可知，当对称轴在区间两侧的时候，函数f（x）为单调函数，可以得到2≤

k−2

2

或

k−2

2

≤-2，求解即可求得实数k的取值范围．

本题考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法．

考点点评：本题考查了函数单调性的性质，分段函数解析式的求法．本题重点考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．属于中档题．