题目
如图,在矩形ABCD中,AB=3
,BC=3,沿对角线BD将BCD折起,使点C移到点C′,且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
(1)求证:BC′⊥面ADC′;
(2)求二面角A-BC′-D的正弦值.
3 |
(1)求证:BC′⊥面ADC′;
(2)求二面角A-BC′-D的正弦值.
提问时间:2021-02-02
答案
(1)由题意可得,C′O⊥平面ABD,
∵DA⊂平面ABD,
∴C′O⊥DA,
由题意可知,∠DAB=90°,即DA⊥AB,且C′O∩AB=O,
∴DA⊥平面C′AB,又BC′⊂平面C′AB,
∴BC′⊥DA,
又∠BC′D=∠BCD=90°,即BC′⊥C′D,且C′D∩DA=D,
∴BC′⊥平面ADC′;
(2)根据(1)可知,BC′⊥平面ADC′,
∵AC′⊂平面ADC′,DC′⊂平面ADC′,
∴BC′⊥AC′,BC′⊥DC′,
∴∠AC′D即为二面角A-BC′-D的平面角,
又由(1)知,DA⊥平面C′AB,
∵AC′⊂平面C′AB,
∴DA⊥AC′,即△DAC′为直角三角形,
在直角三角形DAC′中,DA=BC=3,DC′=DC=AB=3
,
∴sin∠AC′D=
=
=
,
故二面角A-BC′-D的正弦值为
.
∵DA⊂平面ABD,
∴C′O⊥DA,
由题意可知,∠DAB=90°,即DA⊥AB,且C′O∩AB=O,
∴DA⊥平面C′AB,又BC′⊂平面C′AB,
∴BC′⊥DA,
又∠BC′D=∠BCD=90°,即BC′⊥C′D,且C′D∩DA=D,
∴BC′⊥平面ADC′;
(2)根据(1)可知,BC′⊥平面ADC′,
∵AC′⊂平面ADC′,DC′⊂平面ADC′,
∴BC′⊥AC′,BC′⊥DC′,
∴∠AC′D即为二面角A-BC′-D的平面角,
又由(1)知,DA⊥平面C′AB,
∵AC′⊂平面C′AB,
∴DA⊥AC′,即△DAC′为直角三角形,
在直角三角形DAC′中,DA=BC=3,DC′=DC=AB=3
3 |
∴sin∠AC′D=
DA |
DC′ |
3 | ||
3
|
| ||
3 |
故二面角A-BC′-D的正弦值为
| ||
3 |
(1)根据已知的线面垂直,可以得到DA⊥C′O,再根据DA⊥AB,即可证明DA⊥面C′AB,从而证得BC′⊥DA,利用直线与平面垂直的判定定理,即可证得BC′⊥面ADC′;
(2)根据(1)的结论,结合二面角的平面角的定义,即可确定∠AC′D即为二面角A-BC′-D的平面角,在直角三角形DAC′中,即可求得二面角A-BC′-D的正弦值.
(2)根据(1)的结论,结合二面角的平面角的定义,即可确定∠AC′D即为二面角A-BC′-D的平面角,在直角三角形DAC′中,即可求得二面角A-BC′-D的正弦值.
二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
本题考查线面关系,直线与平面垂直的判定定理以及二面角的求解等基础知识,考查思维能力、空间想象能力,求解二面角的问题,关键在于如何正确的找到二面角的平面角.属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1成轴对称的两个图形,对称轴有几条?
- 2My mother wants to buy some berries ---- me.A,to B,for C,/
- 3如何在开区间上判断函数的有界无界
- 4Will you ___________take Part in the sports meet
- 5仓库里原来有一批存货,以后还继续运货进仓,且每天运进的货一样多.用同样的汽车运货出仓.
- 6谁有人教版第七册的教科书,帮我按课文内容填空一下,
- 7六年级上册语文书上的【习作7】怎么写?(400字以内)给个参考嘛!
- 8在一个温度恒定的密闭容器中,SO2和O2发生反应.已知1molSO2和足量O2完全反应,放出的热量为Q.请按要求回答下列问题.
- 9已知函数f(x)=(x+a)(x^2+b)是定义在R上的奇函数,其值域为[-14,14]
- 10设a>0且a≠1,且函数f(x)=a^lg(x^2-2x+3)有最大值,则loga (x^2-5x+7)>0的解集为
热门考点
- 1一道小学三年级关于单位的题..急
- 2英语翻译
- 3appoint 和promote有什么区别?
- 4金在水里,重量减七十七分之四,银减少二十一分之二,金银合金19.6克,放在水里称是18.4克,含金银多少克
- 5已知2的m次方=3,2的3m+n+1=270.求2的n次方
- 6曲霉,酵母菌,乳酸菌,醋酸菌哪些是真菌,细菌?
- 7求证x^3+y^3-3x^2y+xy^2≥0
- 8猹的皮毛很滑 该比喻句
- 9学校买来25只足球和30只排球,共付了2020元.每只足球比每只排球贵6元,每只足球 元,每只排球 元
- 10We can never expect a bluer sky___ we create a less polluted world.答案是unless,为什么不能填until?