题目
若X是自然数,设Y=X^4+2X^3+2X^2+2X+1 证明Y是不完全平方数
提问时间：2021-02-02
答案
Y=X^4+2X^3+2X^2+2X+1=X^4+2X^3+X^2+X^2+2X+1=X^2(X+1)^2+(X+1)^2=(X+1)^2(X^2+1).
于是只要证明(X^2+1)不是完全平方即可.
反证法：
设X^2+1为完全平方数,即(X^2+1)=A^2,且A>X,于是必有有(A+X)(A-X)=1.
然而,由于A和X均为自然数,于是有A+X>1,A-X>=1,即必有(A+X)(A-X)>1.
矛盾.
因此X^2+1不是完全平方数,于是Y不是完全平方数.
于是只要证明(X^2+1)不是完全平方即可.
反证法：
设X^2+1为完全平方数,即(X^2+1)=A^2,且A>X,于是必有有(A+X)(A-X)=1.
然而,由于A和X均为自然数,于是有A+X>1,A-X>=1,即必有(A+X)(A-X)>1.
矛盾.
因此X^2+1不是完全平方数,于是Y不是完全平方数.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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