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题目
已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C,与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)...
已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C,与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)(x1(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(3)探究:在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的两倍?若存在,求出所符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.

提问时间:2021-02-02

答案
1、
因为x1,x2是方程x^2-2(m-1)x+m^2-7=0的两个根
所以x1+x2=2(m-1) ,x1*x2=m^2-7
又因为(x1)^2+(x2)^2=10
所以(x1+x2)^2-2x1*x2=10
即[2(m-1)]^2-2(m^2-7)=10
整理得:m^2-4m+4=0
所以m=2
代入x^2-2(m-1)x+m^2-7=0 得
x^2-2x-3=0
解得x1=-1,x2=3
所以A、B的坐标为:A(-1,0),B(3,0)
2、
把A、B坐标代入y=ax^2+bx+c,得
a-b+c=0
9a+3b+c=0
因为抛物线y=ax^2+bx+c顶点M的纵坐标为-4
所以(4ac-b^2)/(4a)=-4
上述三式组成方程组,解得
a=1,b=-2,c=-3 (a=0不合,已舍去)
所以抛物线的解析式是
y=x^2-2x-3
当x=0时,y=-3
所以C点坐标是(0,-3)
3、
抛物线y=x^2-2x-3的顶点是M(1,-4),AB=3-(-1)=4
设点P的坐标为(x,y)
S△PAB=AB*|y|/2=4*|y|/2=2|y|
过M作MN⊥X轴,交X轴于N点,则
S四边形ACMB=S△AOC+S△BNM+S梯形MNOC
=1*3/2+(3-1)*4/2+(3+4)*1/2
=9
若S△PAB=2S△PAB
则有2|y|=2*9=18
所以|y|=9>4,
所以P在X轴的上方
所以y=9
所以9=x^2-2x-3
即x^2-2x-12=0
解得x=1±√13
所以存在点P使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍,坐标为:P1[(1+√13),9],P2[(1-√13),9]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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