题目
已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x^z+x)=f(x)-x^2+x,
1,若f(2)=3,求f(1),若f(0)=a,求f(a)
2,设有且有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式
1,若f(2)=3,求f(1),若f(0)=a,求f(a)
2,设有且有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式
提问时间:2021-02-01
答案
(I)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x^2+x
所以f(f(2)-2^2+2)=f(2)-2^2+2
又由f(2)=3,得 f (3-2^2+2)=3-2^2+2,即 f(1)=1
若f(0)=a,则f (a-0^2+0)=a-0^2+0,即 f(a)=a
(Ⅱ)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x^2+x)=f (x)-x^2+x
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0
所以对任意,有f(x)-x^2+x=x0
在上式中令x=x0,有f(x0)-x0^2+x0=x0
又因为f(x0)=x0,所以-x0^2 =0,故x0=0或x0=1
若x0=0,则f(x)-x^2+x=0,即f(x)=x^2-x
但方程x^2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0
若x0=1,则有则f (x)-x^2+x=1,即f (x)=x^2-x+1.易验证函数满足题设条件.
所以f(f(2)-2^2+2)=f(2)-2^2+2
又由f(2)=3,得 f (3-2^2+2)=3-2^2+2,即 f(1)=1
若f(0)=a,则f (a-0^2+0)=a-0^2+0,即 f(a)=a
(Ⅱ)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x^2+x)=f (x)-x^2+x
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0
所以对任意,有f(x)-x^2+x=x0
在上式中令x=x0,有f(x0)-x0^2+x0=x0
又因为f(x0)=x0,所以-x0^2 =0,故x0=0或x0=1
若x0=0,则f(x)-x^2+x=0,即f(x)=x^2-x
但方程x^2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0
若x0=1,则有则f (x)-x^2+x=1,即f (x)=x^2-x+1.易验证函数满足题设条件.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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