题目

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足：an+2SnS(n-1)=0（n>=2）,a1=0.5
判断{1/Sn},{an}是否为等差数列,并说明理由
求数列{an}的通项
若bn=2(1-n)an,求f(n)=b(n+2)/(n+5)b(n+1)的最大值及取得最大值时的n值

提问时间：2021-02-01

答案

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足：an+2SnS(n-1)=0（n>=2）,a1=0.5
注意到,an=Sn-S(n-1)
所以有:
Sn-S(n-1)+2SnS(n-1)=0
变形有:
1/S(n-1)-1/Sn=-2
令1/Sn=Xn
可以看出:X(n-1)-Xn=-2
所以,Xn是等差数列
Xn=X1+(n-1)*(-2)
X1=1/S1=1/S1=1/a1=2
Xn=2-2(n-1)=2(2-n)
所以,Sn=1/[2*(n-2)]
an=Sn-S(n-1)=1/2*[1/(n-2)-1/(n-3)=-1/2*1/[(n-2)*(n-3)]