题目

f(x)在正负无穷区间内单调有界,Xn为数列.若Xn单调,则f(x)收敛?
若假设f(x)＝1/x,Xn＝1/n,此结论不成立啊

提问时间：2021-01-31

答案

你对问题的描述有问题,应该是f(xn)收敛.这个是肯定的.
你举的例子是不正确的.
注意到,f(x)=1/x是单调的,但不是有界的.
下面证明f(xn)收敛.
——————————————————————————————
——————————————————————————————
——————————————————————————————
假若xn单调,且有界,那么它一定存在一个极限,设为A
那么f(xn)趋向于f(A),因而收敛 .
——————————————————————————————
假若xn单调,但无界,那么它趋向∞,
注意到,f(x)单调有界,那么必有极限,
也就是说,当x充分大时,f(x)有极限,设为B
稍微严格地语言描述为：
存在一个正数M,使得当|x|>M时,lim(x→∞)[f(x)-B]=0
也就是说,
当x→∞时,lim(x→∞)[f(x)-B]=0
那么f(x)自然是收敛的.
——————————————————————————————
——————————————————————————————
——————————————————————————————
证毕.
【经济数学团队为你解答!】