题目

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记b

提问时间：2021-01-31

答案

（I）∵a_n=5S_n+1，
∴当n=1时，a₁=5a₁+1，
∴a1＝−

1

4

，
当n≥2时，a_n=5S_n+1，a_n-1=5S_n-1+1，
两式相减，a_n-a_n-1=5a_n，即an＝−

1

4

an−1，
∴数列{a_n}成等比数列，其首项a1＝−

1

4

a_n-1，
∴数列{a_n}成等比数列，其首项a₁=-

1

4

，公比是q=-

1

4

，
∴an＝(−

1

4

)n，
∴bn＝

4+(− 1 4 )n

1−(− 1 4 )n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn＝4+

5

(−4)n−1

，
bn−4＝

5

(−4)n−1

，
∴cn＝

5

bn−4

−(−4)n−1，
∴Tn＝

−4[(1−(−4)n]

1−(−4)

−n
=

4

5

(−4)n−n−

4

5

．