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题目
若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线,则a=______.

提问时间:2021-01-31

答案
设切点P(x0,x0
∵直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线
∴切线的斜率为1
∵y=x3-3x2+ax
∴y′x=x0=3x2-6x+ax=x0=3x02-6x0+a=1①
∵点P在曲线上
∴x03-3x02+ax0=x0
由①,②联立得
x0=0
3
x
2
0
−6x0+a−1=0
③或
x
2
0
−3x0+a−1=0
3
x
2
0
−6x0+a−1=0

由③得,a=1
由④得x02-3x0=3x02-6x0解得x0=0或
3
2
,把x0的值代入④中,得到a=1或
13
4

综上所述,a的值为1或
13
4

故答案为:1或
13
4
直线与曲线相切,直线已知,即可得出切线斜率,也就得出曲线的导数的方程,设出切点坐标,切点在曲线上,又得到一个方程,两个方程联立求解即可.

导数的几何意义.

本题为直线与曲线相切的试题,此题比较好,设计的计算比较多,要细心才能算对,应熟练掌握方程联立的计算问题等.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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