题目

我在做数学题的极限时很困惑不知道什么时候能将条件（x->...)直接代入而什么时候就不能直接代入需要化简
另外请问做极限题有一种分子分母同时除以未知数最高次项的方法，请问是不是分子阶数高于分母就不能除？必须分母比分子阶数高才能除？

提问时间：2021-01-31

答案

1,作为因子的时候可以代入,就是当x→0的时候,lim x-sinx/x不能代入,此时需求化简,x-sinx更高阶,所以这个极限是0（因为sinx-x是和形式,不能称为因子,如果直接代入的话,会出现0/0的情况,无法运算）,但是lim （x-sinx）/xcosx的时候可以代入cos0=1,进行下一步运算,因为cosx是因子形式,而且不影响结果.
不过,有一点是肯定的,在分子分母出现“减”的情况要绝对注意,还是以x-sinx/x为例,你要是上下同时除以x,结果算出来是1,实际上这个极限是0.
即使是在因子上,如果代入之后是0或者∞（这个叫做未定式）,也不能直接代入,得采用罗比达法则或者等价无穷小进一步运算.
这个我建议你发到考研的论坛去吧,那里的人会给你更权威的答案,实际情况还是需要做题来巩固.理论知识在实际应用的时候并不那么好使.
2,我不明白你第二问的提法,针对多项式的情况,在求极限的时候采取的是抓大头（无穷小取最小次幂,无穷大取最大次幂）的做法,直接取大头就可以判断高低阶了.
在积分运算的时候,需要在分子阶数高于分母的时候先用多项式除法写成一个不是分式+一个真分式的情况.极限直接抓大头就可以了