题目

若对于任意的a属于【1/2,2】,不等式x+a/x+b(x不等于0）<=10在【1/4,1】上恒成立,求b的取值范围

提问时间：2021-01-30

答案

x+a/x>=2根号(x*a/x)=2根号a,当且仅当x=根号a时等号成立
(1)当a属于[1,2]时,由双钩函数性质得x+a/x在[0.25,1]上单调递减
当x=0.25时,x+a/x有最大值0.25+4a
b<=10-(x+a/x)恒成立即b<=10-(0.25+4a)=-4a+9.75
当a=2时-4a+9.75有最小值1.75,所以b<=1.75
(2)当a属于[0.5,1]时
由双钩函数性质得x+a/x在[0.25,根号a)上单调递减,在[根号a,1]上单调递增
当x=0.25时x+a/x=0.25+4a,当x=1时x+a/x=1+a
因为a属于[0.5,1],所以0.25+4a>1+a,所以x+a/x最大值为0.25+4a
b<=10-(x+a/x)恒成立即b<=10-(0.25+4a)=-4a+9.75
当a=1时-4a+9.75有最小值5.75,所以b<=5.75
综上所述b<=1.75