题目

对于函数f（x）（x≠0）恒有f（ab）=f(a)+f(b)且x＞1时f（x）＞0,f（2）=1,（1）求f（-1）的值
（2）求证f（x）为偶函数 （3）求证f（x）在（0,+∞）上是增函数 （4）解不等式f（x²－5）＜2

提问时间：2021-01-30

答案

（1）∵f（ab）=f(a)+f(b)
∴f（x）=f(-1)+f(-x) （x≠0） ①
f（-x）=f(-1)+f(x) →f(x) = -f(-1)+f(-x) （x≠0）②
由①-②可得f(-1)=0
（2）∵f（ab）=f(a)+f(b) → f（x）=f(-1)+f(-x)（x≠0）,而由（1）可得f(-1)=0
∴ f（x）= f(-x) （x≠0）
得证f（x）为偶函数
（3）设x1> x2> 0,则x1/x2> 1,f(x1/x2) > 0
而f（x1）=f(x1/x2)+f(x2) →f（x1）-f(x2)=f(x1/x2) > 0
故f（x）在（0,+∞）上是增函数
（4）∵f（2）=1,f（x²－5）＜2=2 f(2)= f(2)+ f(2)= f(4)
由（3）可知∣x²－5∣＜4 ③
解不等式③可得：1＜x²＜9
→1＜x＜3或者－3＜x＜－1
十年没有接触过这些了.感觉有点陌生呀,