题目

三角形ABC,三边长a,b,c成等比数列,三个角余弦值成等差
是什么三角形,要过程(等边三角形）

提问时间：2021-01-30

答案

余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB=ac
a^2+c^2=ac(2cosB+1)
由a^2+c^2>=2ac
ac(2cosB+1)>=2ac
cosB>=1/2
[2倍角公式]
1-2(sinB/2)^2>=1/2又sinB/2为正值
所以sinB/2<=1/2①
另一方面
2cosB=cosA+cosC
[和差化积]
2cosB=2cos[(A-C)/2]cos[(A+C)/2]
cosB=cos[(A-C)/2]cos[(π-B)/2]
cosB=cos[(A-C)/2]sin(B/2)<=sinB/2
cosB<=sinB/2
[2倍角公式]
1-2(sinB/2)^2<=sin(B/2)
2(sinB/2)^2+sin(B/2)-1>=0
sin(B/2)<=-1 或 sin(B/2)>=1/2
因为sin(B/2)为正值
所以sin(B/2)>=1/2②
由得①②得sin(B/2)=1/2 B/2=π/6 B=π/3
取等号条件①为a=c
取等号条件②为cos[(A-C)/2]=1 (A-C)/2=0 A=C
所以A=C=π/3
所以此三角形是等边三角形