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题目
已知函数f(x)=以a为底【(1-mx)/(x-1)】的对数,是奇函数(a>0,a不等于1)判断f(x)在区间(1,正无穷)上的单调性并加以证明

提问时间:2021-01-30

答案
因为f(x)是奇函数,故-f(x)=f(-x)即:
—log以a为底【(1-mx)/(x-1)】的对数=log以a为底【(1+mx)/(-x-1)】的对数
即log以a为底【(x-1)/(1-mx)】的对数=log以a为底【(1+mx)/(-x-1)】的对数
即 【(x-1)/(1-mx)】=【(1+mx)/(-x-1)】
解出m=1或m=-1,代入原式,m=1不符,故m=-1
此时f(x)=log以a为底【(1+x)/(x-1)】的对数
定义域(-∞,-1)∪(1,+∞)
下面求单调性有两种方法:
方法一:导函数方法
对f(x)求导得:f′(x)=-2[1/(x+1)*(x-1)]log以a为底e的对数
在(1,+∞)上-2/[(x+1)*(x-1)]显然为负,故只需讨论“log以a为底e的对数”的正负即可
①0<a<1时,整体为正,故大于0,f(x)单调递增
②a>1时,整体为负,f(x)单调递减
方法二:复合函数的单调性
f(x)= log以a为底【(1+x)/(x-1)】的对数
=log以a为底【(x-1+2)/(x-1)】的对数
=log以a为底【1+2/(x-1)】的对数
而1+ 2/(x-1)是平移后的反比函数,在(1,+∞)上单调递减,
由复合函数的单调性“减减得增,减增得减”的道理,下面只需要判断以a为底的对数函数的单调性即可,
①0<a<1时,对数函数是减得,故复合函数为增
②a>1时,对数函数为增,故复合函数为减
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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