题目
令F0=1,F1=1,Fk=Fk-1+Fk-2,即Fk为斐波那契数列.试证明:Fi≤FjF(i-j)+F(j+1)F(i-j-1),这里i≥j+1∈Z+
提问时间:2021-01-29
答案
用数学归纳法.
证明j具有性质:对任意正整数i ≥ j+1都有Fi ≤ Fj·F(i-j)+F(j+1)·F(i-j-1).
若j = 0,Fi ≤ F0·Fi+F1·F(i-1) = Fi+F(i-1)显然对任意i ≥ j+1 = 1成立.
若j = 1,Fi ≤ F1·F(i-1)+F2·F(i-2) = F(i-1)+2F(i-2) = Fi+F(i-2)也对任意i ≥ j+1 = 2成立.
假设对j < k,Fi ≤ Fj·F(i-j)+F(j+1)·F(i-j-1)对任意i ≥ j+1成立.
则j = k时,对任意i ≥ j+1 = k+1,有i-1 ≥ k,i-2 ≥ k-1.由j = k-1,k-2时的归纳假设,有:
F(i-1) ≤ F(k-1)·F(i-k)+Fk·F(i-k-1),F(i-2) ≤ F(k-2)·F(i-k)+F(k-1)·F(i-k-1).
相加得Fi = F(i-1)+F(i-2) ≤ (F(k-1)+F(k-2))·F(i-k)+(Fk+F(k-1))·F(i-k-1) = Fk·F(i-k)+F(k+1)·F(i-k-1).
即j = k时,Fi ≤ Fj·F(i-j)+F(j+1)·F(i-j-1)也对任意正整数i ≥ j+1成立.
于是命题对任意自然数j成立,即对任意i ≥ j+1,有Fi ≤ Fj·F(i-j)+F(j+1)·F(i-j-1).
证明j具有性质:对任意正整数i ≥ j+1都有Fi ≤ Fj·F(i-j)+F(j+1)·F(i-j-1).
若j = 0,Fi ≤ F0·Fi+F1·F(i-1) = Fi+F(i-1)显然对任意i ≥ j+1 = 1成立.
若j = 1,Fi ≤ F1·F(i-1)+F2·F(i-2) = F(i-1)+2F(i-2) = Fi+F(i-2)也对任意i ≥ j+1 = 2成立.
假设对j < k,Fi ≤ Fj·F(i-j)+F(j+1)·F(i-j-1)对任意i ≥ j+1成立.
则j = k时,对任意i ≥ j+1 = k+1,有i-1 ≥ k,i-2 ≥ k-1.由j = k-1,k-2时的归纳假设,有:
F(i-1) ≤ F(k-1)·F(i-k)+Fk·F(i-k-1),F(i-2) ≤ F(k-2)·F(i-k)+F(k-1)·F(i-k-1).
相加得Fi = F(i-1)+F(i-2) ≤ (F(k-1)+F(k-2))·F(i-k)+(Fk+F(k-1))·F(i-k-1) = Fk·F(i-k)+F(k+1)·F(i-k-1).
即j = k时,Fi ≤ Fj·F(i-j)+F(j+1)·F(i-j-1)也对任意正整数i ≥ j+1成立.
于是命题对任意自然数j成立,即对任意i ≥ j+1,有Fi ≤ Fj·F(i-j)+F(j+1)·F(i-j-1).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1描写风的词语有哪些?
- 2如图所示,质量为m的物体在沿斜面向上的拉力F作用下,沿放在水平地面上的质量为M的粗糙斜面匀速上滑,此过程中斜面保持静止,则地面对斜面( ) A.无摩擦力 B.有水平向左的摩擦力
- 3如图所示,重为G的物体A放在倾角为30°的斜面上,A与斜面的动摩擦因数为0.2,那么对A施加一个多大的水平力,可使A物体在斜面上匀速运动?
- 4求证:实数a,b均大于0的充要条件是a+b>0和ab>0.
- 5How many parks are there in England?有多少个公园在英国?
- 60.25的平方根为什么是正负0.
- 7为什么这个语句是错误的:k=x,y>0;
- 8关于梁的成语有哪些
- 9never before have so many people in our country been interested in sports
- 10when the man went out of the shop ,he found his car____(lose)理由?
热门考点