题目

n阶矩阵的特征值问题
1：假设,λ1是n阶实矩阵A的一重特征根,能否证明
秩（λ1E-A）=n-1呢?并请说明原因.
2：假设,λ1是n阶实对称矩阵A的k重特征根,如何证明
秩（λ1E-A）=n-k呢?请说明原因.

提问时间：2021-01-29

答案

A 可对角化,则
A=P^(-1)λP
则
（λ1E-A）=λ1E-P^(-1)λP
=P^(-1)（λ1-λi）P
说明：
λ为A对角化后的对角矩阵.P为对应的特征向量,
（λ1-λi）表示：对角线上分别是λ1-λ1,λ1-λ2,...λ1-λi的对角矩阵.
所以,显然因为λ1-λ1=0.则可知P^(-1)（λ1-λi）P的第一行全为0,其余的因为各个特征值不等,则不为零则
可知P^(-1)（λ1-λi）P的秩为n-1
即秩（λ1E-A）=n-1
同理对于λ1是n阶实对称矩阵A的k重特征根,则有k行均为0.
所以秩（λ1E-A）=n-k