题目

(dx/dp)=(x/p)+p
是设(x/p)=u吧?请写出过程,

提问时间：2021-01-29

答案

此题“设(x/p)=u”完全可以解.但还有另一种解法：常数变易法.解法如下.
先解齐次方程dx/dp=x/p的通解
∵dx/dp=x/p ==>dx/x=dp/p
==>ln│x│=ln│p│+ln│C│ (C是积分常数)
==>x=Cp
∴齐次方程dx/dp=x/p的通解是x=Cp (C是积分常数)
于是,设原方程的通解为x=C(p)p (C(p)表示关于p的函数)
∵dx/dp=C'(p)p+C(p)
代入原方程得C'(p)p+C(p)=C(p)+p
==>C'(p)p=p
==>C'(p)=1
==>C(p)=p+C (C是积分常数)
∴x=(p+C)p=p²+Cp
故原方程的通解是x=(p+C)p=p²+Cp (C是积分常数).