题目

标准椭圆C的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线斜率为1.与椭圆C交于A.B两点,且AF2=2FB.求椭圆C的离心率.
若三角形F1AB面积为4/21.求椭圆C的方程 这俩是一道题,希望您能快点.

提问时间：2021-01-29

答案

直线l:x=y+c
x²/a²+y²/b²=1
(y+c)²/a²+y²/b²=1
b²(y+c)²+a²y²=a²b²
(a²+b²)y²+2b²cy-b⁴=0
A﹙x₁,y₁﹚B﹙x₂,y₂﹚
y₁＋y₂=-2b²c/(a²+b²)(1）
y₁y₂=-b⁴/(a²+b²)(2)
∵AF₂=2F₂B
∴y₁=-2y₂
（1）y₂ =2b²c/(a²+b²) (3)
(2)2y₂²=b⁴/(a²+b²) (4)
(3)y₂² =4b⁴c²/(a²+b²)²(5)
(4)/(5):8c²=a²+b²=2a²-c²
∴ c²/a²=2/9 ∴e=√2/3
a=3/√2 c,b=√7/√2c
y₁＋y₂=-7c/8
y₁y₂=-49/32c²
|y₁-y₂|²=(-7c/8)²+49/8c²=49×9/64c²
|y₁-y₂|=21/8c
SΔF1AB=1/2 |F₁F₂||y₁-y₂|
=c× 21/8c=21/4 (改了,你写的是4/21)
∴c²=2,a²=9 b²=7
椭圆C:x²/9+y²/7=1