题目

已知函数f（x）满足f(x)＝x3+f ′(

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)x2−x+C（其中f ′(

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)为f（x）在点x＝

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处的导数，C为常数）．
（1）求f ′(

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)的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

提问时间：2021-01-29

答案

（1）由f(x)＝x3+f ′(

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)x2−x+C，得f ′(x)＝3x2+2f ′(

2

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)x−1．
取x＝

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，得f ′(

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)＝3×(

2

3

)2+2f ′(

2

3

)×(

2

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)−1，
解之，得f ′(

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)＝−1，…（6分）
（2）因为f（x）=x³-x²-x+C．
从而f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+

1

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)(x−1)，列表如下：

x	(−∞，− 1 3 )	− 1 3	(− 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有极大值	↘	有极小值	↗

∴f（x）的单调递增区间是(−∞ ， −

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)，（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是(−

1

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 ， 1)．…（12分）

（1）由f(x)＝x3+f ′(

2

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)x2−x+C，得f ′(x)＝3x2+2f ′(

2

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)x−1．由此能求出f ′(

2

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)的值．
（2）由f（x）=x³-x²-x+C．知f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+

1

3

)(x−1)，列表讨论能求出f（x）的单调区间．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

考点点评：本题考查函数的导数值的求法，考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．