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题目
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,则p的值为(  )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

提问时间:2021-01-29

答案
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y12=2px1,①
y22=2px2,②
①-②,得:(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),
y1y2
x1x2
•(y1+y2)=2p,
∵过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,
y1y2
x1x2
=1,AB方程为:y=x-
p
2

y1+y2
2
为AB中点纵坐标,
∴y1+y2=2p,
y1x1
p
2
y2x2
p
2

∴y1+y2=x1+x2-p,
∴x1+x2=y1+y2+p,
x1+x2
2
(y1+y2+p)
2
=
3p
2

∴AB中点横坐标为
3p
2

∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,
p
2
+
3p
2
=4
,解得p=2.
故选B.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由点差法得到
y1y2
x1x2
•(y1+y2)=2p,因为过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,所以
y1y2
x1x2
=1,AB方程为:y=x-
p
2
,故y1+y2=2p,AB中点横坐标为
3p
2
,再由线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,能求出p.

直线与圆锥曲线的关系.

本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

举一反三
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