题目

已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是减函数.若方程f（x）=k在区间[-8，8]上有四个不同的根，则这四根之和为（　　）
A. ±4
B. ±8
C. ±6
D. ±2

提问时间：2021-01-28

答案

∵f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，∵f（x-4）=-f（x），即f（x+8）=f（x），∴f（x）是周期为8的周期函数，根据f（-x）=-f（x），f（x-4）=-f（x），可得f（x-4）=f（-x），∴f（x）关于直线x=-2对称，又根据题...

由条件“f（-x）=-f（x）”函数为奇函数，由“f（x-4）=-f（x）”可得f（x+8）=f（x），即函数的周期为8，且在[0，2]上为减函数，画出示意图，由图解得答案．

本题考点：抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系．

考点点评：本题考查了数形结合的数学思想方法．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．