题目
证明质数p的开方是无理数
第一步用设质数p的开方是有理数.
第一步用设质数p的开方是有理数.
提问时间:2021-01-28
答案
假设是有理数,就可以表示成 s/t 的形式,其中s,t均为正整数且s,t互素.
因此由 根号p=s/t 即知 p=s^2/t^2.因为等式两边均为整数,左边能被p整除,所以右边也能被p整除,即s能被p整除,设s=pr,r也是正整数.从而有
p=p^2*r^2/t^2.两边约去一个p得到:1=p*r^2/t^2,即 t^2=p*r^2.
此时等式右边能被素数p整除,所以左边也能被素数p整除,即t=pq,但由于p是素数,此时s=pr,t=pq,两者有共同的素因子p,这与假设它们互素矛盾,所以素数p开方是无理数.
因此由 根号p=s/t 即知 p=s^2/t^2.因为等式两边均为整数,左边能被p整除,所以右边也能被p整除,即s能被p整除,设s=pr,r也是正整数.从而有
p=p^2*r^2/t^2.两边约去一个p得到:1=p*r^2/t^2,即 t^2=p*r^2.
此时等式右边能被素数p整除,所以左边也能被素数p整除,即t=pq,但由于p是素数,此时s=pr,t=pq,两者有共同的素因子p,这与假设它们互素矛盾,所以素数p开方是无理数.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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