题目

高等数学级数证明题
证明级数Un=(n*(lnn)^p)^-1,在p>=1时收敛,在p

提问时间：2021-01-28

答案

你的题目出错了,等号应在在后半部分!
以下部分是积分判别法证明：
关于级数1/n(lnn)^p有个类似p级数的性质：当p>1时,级数收敛；当p≤1时,级数发散.
画出函数1/x(lnx)^p(x>2)的图象,容易看出是在x轴上方单调递减到0的.在[2,+∝]上曲线和x轴围成的面积是积分∫[2,+∝][1/x(lnx)^p]dx = {[(lnx)^(1-p)]/(1-p)}|[2,+∝].按长度1划分区间后,上述面积被分割成无数底边为1的小曲边梯形,每个小曲边梯形的面积都介于分别以左右侧边为高底边为1的小矩形的面积之间.
当p>1时：级数和为∑[2,+∝][1/n(lnn)^p]=[1/2(ln2)^p]+∑[3,+∝][1/n(lnn)^p],而∑[3,+∝][1/n(lnn)^p]就是所有小右矩形面积之和,所有右矩形都在相应的小曲边梯形之内,故∑[3,+∝][1/n(lnn)^p]