题目

为使方程cos²x-sinx+a=0在（0，

π

2

]内有解，则a的取值范围是______．

提问时间：2021-01-28

答案

方程cos²x-sinx+a=0即 sin²x+sinx-a-1=0．
由于x∈（0，

π

2

]，∴0＜sinx≤1．
故方程t²+t-a-1=0 在（0，1]上有解．
又方程t²+t-a-1=0 对应的二次函数f（t）=t²+t-a-1 的对称轴为t=-

1

2

，
故有

f(0)•f(1)≤0 f(0)≠0

，即

(a−1)•(1−a)≤0 (−a−1)≠0

．
解得-1＜a≤1．
故答案为：-1＜a≤1．

由题意可得方程t²+t-a-1=0 在（0，1]上有解，函数f（t）=t²+t-a-1 的对称轴为t=-

1

2

，故有

f(0)•f(1)≤0 f(0)≠0

，解此不等式组求得a的取值范围．

本题考点：同角三角函数间的基本关系；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想．