题目

一个关于极限概念的问题
lim（n次根号n）=1 n->+∞可以理解,但n->-∞时不是没有意义的吗?怎么理解呢?
n->∞
另外,比如（-2）^n当n->∞时答案是+∞还是-∞呢?
那如果n改为x呢?

提问时间：2021-01-28

答案

1、确实,n^(1/n),在 n→-∞ 时,确实无法确定是实数还是虚数.
同样,(-2)^n,当n→∞时,也无法确定是正数还是负数.
2、一般情况下,为了概念清楚起见,都要求n>0.
如果是小于零的话,在特殊的情况下,要特殊讨论.
一般的讨论,就是同时考虑实数、虚数两种情况；或同时考虑正数、负数两种情况.
3、如(-2)^n这种情况,就写成(-1)^n×2^n来考虑,(-1)^n就是我们要分开考虑的情况,
而2^n就是正常的题目了.
事实上,我们学对数是,要求底数(base)为正,其实是同样原因,底数事实上是可以
为负的,我们要求底数为正,一方面便于计算,一方面公式只需要一套就可以了.真
正的情况,是我们已经将负底数的负号事先处理掉了,或者说事先已经分析了最后的
的结果,然后才用正底数去计算.这一点,有点不太好理解,即使一般的中学数学老
师往往也是囫囵吞枣,并没有意识到这个问题.
4、我们在绝对值运算中,我们在极限的证明中,我们在复数的运算中,都采取了|f(x)|这种
取绝对值(absolute value)、取模(modulus)的方法,就是避免楼主质疑的问题发生.
5、如果改成x,情况就更为复杂,当然还是有解决的方法的,那就进入复变函数了.
看得出,楼主不是一个死记硬背的学生,不是人云亦云,而是有严格思想的学生,有strict
logic-reasoning(严格逻辑推理)的学生,难能可贵.不过,要有两个心理准备,一是要完全
理解以后的概念,你的努力要比一般人多出好多倍,收获也是别人的好多倍；二是毕竟周围
的人多是泛泛之人,他们不但不会欣赏你、鼓励你,却反而会嘲弄你“钻牛角尖”.这就是
“曲高和寡”的道理,也就是“木秀于林,风必毁之”.有心理准备,就可以“笑傲江湖”.
加油吧,辉煌的未来在向你招手.