题目

n 1个n维向量必相关,但是阶梯型向量组必无关,这2个定理不是就矛盾了吗?

提问时间：2021-01-27

答案

不矛盾
你所说的“矛盾”是指在同一个n维向量空间内
首先,“n+1个n维向量必线性相关”是必然成立的,是一个很重要的定理,一般《高等代数》的教科书里都有相关证明,在此就不加以证明了
其次,“阶梯型向量组必线性无关”也是成立的,不与上述定理矛盾,分析如下：
n维向量即为有n个分量的向量,阶梯型即为向量组中各向量的非零分量依次递增或递减
在一个n维向量空间内,阶梯型向量组至多可以有n个向量,举例如下：
(a11,a12,a13,...,a1(n-1),a1n)
( 0 ,a22,a23,...,a2(n-1),a2n)
( 0 ,0 ,a33,...,a3(n-1),a3n)
……………………
( 0 ,0 ,0 ,...,a(n-1)(n-1),a(n-1)n)
( 0 ,0 ,0 ,...,0 ,ann)
因此,“阶梯型向量组必线性无关”与“n+1个n维向量必线性相关”是不矛盾的