题目

已知椭圆

x2

4

+

y2

2

＝1，A、B是其左右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆与点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为______．

提问时间：2021-01-27

答案

设M（2，2），
∵A（-2，0），B（2，0），
∴MA的方程为：x-2y+2=0，
由

x−2y+2＝0 2x2+4y2＝8

，
解得P（

2

3

，

4

3

），
从而得到直线PB的斜率k_PB=-1，
由直径上的圆周角是直角知PB⊥MQ，
∴k_MQ=1，
于是直线MQ的方程为x-y=0，
∵Q是直线MQ与x轴的交点，
故Q的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．

设M（2，2），MA的方程为：x-2y+2=0，MQ的方程为x-y=0，Q是直线MQ与x轴的交点，故Q的坐标为（0，0）．

本题考点：圆与圆锥曲线的综合．

考点点评：本题考查圆和性质和综合运用，解题时要注意特殊殖法的合理运用．