题目
求证当三角形的周长一定时,其面积以正三角形的面积为最大.
要详细的证明
要详细的证明
提问时间:2021-01-27
答案
若三角形的三条边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为:
S=根号[p·(p-a)·(p-b)·(p-c)],其中p为半周长,p=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式.有了这个公式,原题的证明就不困难了.
设三角形的周长为a+b+c=2p
则S^2=p·[(p-a)·(p-b)·(p-c)≤p·{[(p-a)+(p-b)+(p-c)]/3}^3(用了“三个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数”结论)
∴ S^2≤p^4/27
∴ S≤(根号3/9)·p^2
当且仅当p-a=p-b=p-c,即a=b=c,三角形为等边三角形时,面积取得最大值.
S=根号[p·(p-a)·(p-b)·(p-c)],其中p为半周长,p=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式.有了这个公式,原题的证明就不困难了.
设三角形的周长为a+b+c=2p
则S^2=p·[(p-a)·(p-b)·(p-c)≤p·{[(p-a)+(p-b)+(p-c)]/3}^3(用了“三个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数”结论)
∴ S^2≤p^4/27
∴ S≤(根号3/9)·p^2
当且仅当p-a=p-b=p-c,即a=b=c,三角形为等边三角形时,面积取得最大值.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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