题目
已知函数g(x)=a(x)的平-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上的最大值为4,最小值为1.
记f(x)=g(/x/).
(1)求实数a,b的值.
(2)若不等式f(log以2为底k)>f(2)成立,求实数k的取值范围
记f(x)=g(/x/).
(1)求实数a,b的值.
(2)若不等式f(log以2为底k)>f(2)成立,求实数k的取值范围
提问时间:2021-01-27
答案
1,g(x)=ax²-2ax+1+b (a>0),在区间[2,3]内最大值为4,最小值为1,设f(x)=g(x)/x
由题知,
g(x)为二次函数,f(x)=g(/x/).
对称轴为x= -(-2a)/a = 2
因为 a>0,g(x)开口向上,
在区间[2,3]内递增,且f(x)=g(x).
最大值f(x)max = f(3) = 3a+1+b =4
最小值f(x)min = f(2) = 1+b =1
所以,a=1 b=0
2、f(log(2)k) >f(2),而 g(x)=x²-2x+1 log(2)k>0
所以,f(x) = g(|x|) =g(x)
令t=log(2)k,即f(t) > f(2)=1
t²-2t+1>1
t(t-2)>0
因为t>0 所以 t>2
亦即 log(2)k>2 log(2)k>log(2)4
因为 log(2)k 是增函数
所以k>4
即k∈(4,+∞,)
由题知,
g(x)为二次函数,f(x)=g(/x/).
对称轴为x= -(-2a)/a = 2
因为 a>0,g(x)开口向上,
在区间[2,3]内递增,且f(x)=g(x).
最大值f(x)max = f(3) = 3a+1+b =4
最小值f(x)min = f(2) = 1+b =1
所以,a=1 b=0
2、f(log(2)k) >f(2),而 g(x)=x²-2x+1 log(2)k>0
所以,f(x) = g(|x|) =g(x)
令t=log(2)k,即f(t) > f(2)=1
t²-2t+1>1
t(t-2)>0
因为t>0 所以 t>2
亦即 log(2)k>2 log(2)k>log(2)4
因为 log(2)k 是增函数
所以k>4
即k∈(4,+∞,)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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