题目

如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．
（1）点 ___ （填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

提问时间：2021-01-27

答案

（1）点M．
（2）经过t秒时，NB=t，OM=2t，
则CN=3-t，AM=4-2t，
∵A（4，0），C（0，4），
∴AO=CO=4，
∵∠AOC=90°，
∴∠BCA=∠MAQ=45°，
∴QN=CN=3-t
∴PQ=1+t，
∴S_△AMQ=

1

2

AM•PQ=

1

2

（4-2t）（1+t）=-t²+t+2．
∴S=-t²+t+2=-t²+t-

1

4

+

1

4

+2=-（t-

1

2

）²+

9

4

，
∵0≤t≤2
∴当t=

1

2

时，S的值最大．
（3）存在．
设经过t秒时，NB=t，OM=2t
则CN=3-t，AM=4-2t
∴∠BCA=∠MAQ=45°
①若∠AQM=90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高
∴PQ是底边MA的中线
∴PQ=AP=

1

2

MA
∴1+t=

1

2

（4-2t）
∴t=

1

2

∴点M的坐标为（1，0）
②若∠QMA=90°，此时QM与QP重合
∴QM=QP=MA
∴1+t=4-2t
∴t=1
∴点M的坐标为（2，0）．