题目

已知二次函数y=ax2的图像经过点(2,1),直线y=kx+1与该二次函数对应的抛物线交于
已知二次函数y=ax²的图像经过点（2,1）,直线y=kx+1与该二次函数对应的抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,记△AOB的面积为S 若S=4,k＞0,求出K的值,并借助图像探究满足不等式ax²＜kx+1的x的取值范围.

提问时间：2021-01-26

答案

二次函数y=ax²的图像经过点（2,1）,可得 1=4a,a=1/4
设A(x1,y1),B(x2,y2)
y1=kx1+1,y2=kx2+1
y1-y2=k(x1-x2)
|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(x1-x2)^2+k^2*(x1-x2)^2=(1+k^2)(x1-x2)^2
|AB|=√(1+k^2)*|x1-x2| （此处的结果应该记住）
O到直线的距离d=|0*k-0*1-1|/√(1+k^2)=1/√(1+k^2)
A,B 为 y=(1/4)x2与直线y=kx+1的交点
(1/4)x^2=kx+1 (1/4)x^2-kx-1=0 Δ=k^2+1
|x1-x2|=(√Δ)/|a| (此可用求根公式或根与系数的关系证明,请自己动手证明一下并记住,填空选择直接应用）
S=4=(1/2)d|AB|=(1/2)[1/√(1+k^2)]*|√(1+k^2)*|x1-x2|
=(1/2)[1/√(1+k^2)]*|√(1+k^2)*|(√Δ)/|a|
=(1/2)[1/√(1+k^2)]*|√(1+k^2)*|(√(1+k^2)/(1/4)
=(1/8)√(1+k^2)=4
得到k=±1,k>0,所以k=1
借助图像探究满足不等式ax²＜kx+1的x的取值范围.
作两个图像：y=(1/4)x^2,y=x+1
y=(1/4)x^2 的图像在 y=x+1 的图像下方所对应的x的取值范围即为所需.