题目
已知:如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E.求证:
(1)△ABC≌△DCB;
(2)DE•DC=AE•BD.
(1)△ABC≌△DCB;
(2)DE•DC=AE•BD.
提问时间:2021-01-26
答案
证明:(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AC=DB(等腰梯形的两条对角线相等),
∵AB=DC(已知),BC=CB(公共边),
∴△ABC≌△DCB(SSS);
(2)由(1)知,△ABC≌△DCB,
∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB(全等三角形的对应角相等);
∵AD∥BC(已知),
∴∠DAC=∠ACB(两直线平行,内错角相等),∠EAD=∠ABC(两直线平行,同位角相等);
又∵ED∥AC(已知),
∴∠EDA=∠DAC(两直线平行,内错角相等),
∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB(等量代换),
∴△ADE∽△CBD,
∴DE:BD=AE:CD(相似三角形的对应边成比例),
∴DE•DC=AE•BD.
∴AC=DB(等腰梯形的两条对角线相等),
∵AB=DC(已知),BC=CB(公共边),
∴△ABC≌△DCB(SSS);
(2)由(1)知,△ABC≌△DCB,
∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB(全等三角形的对应角相等);
∵AD∥BC(已知),
∴∠DAC=∠ACB(两直线平行,内错角相等),∠EAD=∠ABC(两直线平行,同位角相等);
又∵ED∥AC(已知),
∴∠EDA=∠DAC(两直线平行,内错角相等),
∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB(等量代换),
∴△ADE∽△CBD,
∴DE:BD=AE:CD(相似三角形的对应边成比例),
∴DE•DC=AE•BD.
举一反三
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