题目

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形BCC₁B₁的中心，求证：

（1）BC₁⊥DO；
（2）A₁C⊥平面AB₁D₁．

提问时间：2021-01-25

答案

证明：如图，

（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，∴BC₁⊥B₁C，DC⊥面BCC₁，∴DC⊥BC₁，
又DC∩B₁C=C，∴BC₁⊥平面B₁CD，又DO⊂面B₁CD，∴BC₁⊥DO；
（2）连结A₁B，则A₁B⊥AB₁，又BC⊥面ABB₁，∴BC⊥AB₁，
∴AB₁⊥面A₁B₁C，∴A₁C⊥AB₁，
同理A₁C⊥AD₁，又AB₁∩AD₁=A．∴A₁C⊥平面AB₁D₁．