题目

关于求过两圆（大小不同）交点且与一直线相切的圆的方程
原题：已知圆C1:X^2+Y^2=4,C2：X^2+Y^2-2X－4Y+4=0和直线L:X+2Y=0,求经过圆C1,C2的交点且与直线L相切的圆的方程
最好简便点的方法，

提问时间：2021-01-25

答案

设所求的圆的方程为C3,∵C3过C1、C2的交点,
∴设C3的方程是C1+λC2＝0,其中λ≠-1,即
X^2+Y^2-4+λ(X^2+Y^2-2X－4Y+4)=0,
整理,得：x^2+y^2-[2λ/(1+λ)]x-[4λ/(1+λ)]y-4(1-λ)/(1+λ)=0.
配方,得[x-λ/(1+λ)]^2+[y-2λ/(1+λ)]^2=(1+4λ^2)/(1+λ)^2,
∴C3的圆心坐标是(λ/(1+λ),2λ/(1+λ)),半径R^2=(1+4λ^2)/(1+λ)^2,
∵C3和直线L:X+2Y=0相切,圆心到直线L的距离等于圆的半径,由此得：
{[λ/(1+λ)+4λ/(1+λ]/(根5)}^2＝(1+4λ^2)/(1+λ)^2,
解得：λ＝1.
∴所求的园的方程是(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4.