题目

直线y=kx与圆x²+y²-6x-4y+10=0相交于两个不同点A、B，当k取不同实数值时，求AB中点的轨迹方程．

提问时间：2021-01-24

答案

法一：由

x2+y2−6x−4y+10＝0 y＝kx

消去y，得（1+k²）x²-（6+4k）x+10=0．
设此方程的两根为x₁、x₂，AB的中点坐标为P（x，y），
则由韦达定理和中点坐标公式，得x=

x1+x2

2

=

6+4k

2(1+k2)

=

3+2k

1+k2

．①
又点P在直线y=kx上，
∴y=kx．
∴k=

y

x

．②
将②代入①，得x=

3+2× y x

1+( y x )2

（x≠0），整理得x²+y²-3x-2y=0．
故轨迹是圆x²+y²-3x-2y=0位于已知圆内的部分．
解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁²+y₁²-6x₁-4y₁+10=0，①
x₂²+y₂²-6x₂-4y₂+10=0，②
①-②，得（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0．
设AB的中点为（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
代入上式，有2x（x₁-x₂）+2y（y₁-y₂）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0，
即（2x-6）（x₁-x₂）+（2y-4）（y₁-y₂）=0．
∴

x−3

y−2

=-

y1−y2

x1−x2

=-k．③
又∵y=kx，④
由③④得x²+y²-3x-2y=0．
故所求轨迹为已知圆内的一段弧．

法一为参数法，适当引入参数，设出中点坐标，通过联立方程组，利用韦达定理，再消去参数得所求轨迹；
法二为“差分法”，设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入圆的方程，作差，利用中点公式，结合直线的斜率，消去参数求中点轨迹方程．

本题考点：直线与圆的位置关系；轨迹方程．

考点点评：本题考查与圆有关的轨迹问题．法一为参数法，适当引入参数，再消去参数得所求轨迹；法二为“差分法”，是求中点轨迹的一种常用方法．