题目

对于任意正整数n有 证明 绝对值（sin nx）小等于n*绝对值（sin x)

提问时间：2021-01-24

答案

两个函数
f(x)=|Sin[nx]|和
g(x)=n*|Sin[x]|
的最小正周期为π,和π/n,
取周期的公倍数π作为其共有的周期,不一定是最小正周期.
只要一个周期内正确,则整个实数范围内皆正确.
于是只证明-π/2～π/2范围内就可以了.
再考虑到函数是偶函数,
所以只需要证明0～π/2范围内就可以了.
下面分情况讨论:
情况I:
x=0时,显然
f(0)=g(0)=0,命题成立.
情况II:
f(π)=g(π)=0,命题成立.
情况III:
当x∈(0,π/(2n)]时,
f(x)=|Sin[nx]|
=Sin[nx]
=Sin[nx]-Sin[(n-1)x]+Sin[(n-1)x]-Sin[(n-2)x]+...+Sin[2x]-Sin[x]+Sin[x]
=(Sin[nx]-Sin[(n-1)x])+(Sin[(n-1)x]-Sin[(n-2)x])+...+(Sin[2x]-Sin[x])+Sin[x]
考虑到正弦函数y=Sin[nx]在x∈(0,π/(2n)]范围内为增函数,函数值始终大于0,斜率随着x的增大而减小.
所以
(Sin[nx]-Sin[(n-1)x])≤Sin[x]-Sin[0].
即
(Sin[nx]-Sin[(n-1)x])≤Sin[x],
同理有:
(Sin[(n-1)x]-Sin[(n-2)x])≤Sin[x],
(Sin[(n-2)x]-Sin[(n-3)x])≤Sin[x],
...
(Sin[2x]-Sin[x])≤Sin[x],
Sin[x]≤Sin[x],
于是左右分别相加得.
Sin[nx]π/(2n),所以g(x)>g(π/(2n))
g(x)>n*Sin[π/(2n)],
仿照情况III的证明过程可以证明
n*Sin[π/(2n)]≥Sin[n*π/(2n)],即
n*Sin[π/(2n)]≥Sin[π/2],所以
n*Sin[π/(2n)]≥1.
f(x)≤1,g(x)≥1,
所以f(x)≤g(x).
根据偶函数的对称性可以证明-π/2～π/2范围内,命题仍然成立.
于是在一个周期内证明了命题成立.
于是命题成立.